PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH LÀ GÌ

  -  
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-10X

I. Quan niệm chung:

1. Định nghĩa:

1 hệ bao gồm m phương trình của n ẩn số

*
gồm dạng:

*

trong đó:

*
;
*
– hệ số (của ẩn) ;
*
– hệ số tự do.

Bạn đang xem: Phương trình tuyến tính là gì

2. Nhấn xét:

Ta đặt:

*
" class="latex" /> ;
*
" class="latex" /> ;
*
" class="latex" />

Khi đó, theo công thức của phép nhân ma trận ta có:

*

Hay hệ phương trình (1.1) hoàn toàn có thể viết thành phương trình ma trận:

*
(1.2) cùng được call là dạng ma trận của hệ phương trình.

Trong đó: A – ma trận thông số của (1.1) ; X – ma trận ẩn số (cột ẩn số) ; B – ma trận tự do thoải mái (cột từ do)

Ma trận

*
" class="latex" /> được hotline là ma trận không ngừng mở rộng (ma trận té sung)

3. Phương trình con đường tính thuần tuyệt nhất (Homogeneous systems):

Từ hệ (1.1) trường hợp

*
. Ta có:
*

Hay:

*

Khi đó: hệ (1.3) được call là hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất (do luôn có 1 nghiệm bình bình – trivial solution

*
) tương ứng với hệ (1.1). Hệ (1.1) được hotline là hệ phương trình tuyến đường tính (pttt) tổng quát (hay pttt không thuần nhất)

4. Hai hệ pttt thuộc ẩn số được hotline là tương đương nếu chúng có cùng tập đúng theo nghiệm. Ta nhấn mạnh vấn đề rằng, hai hệ pttt tương tự thì độc nhất thiết phải gồm cùng số ẩn, nhưng mà số phương trình hoàn toàn có thể khác nhau.

Xem thêm: Nghĩa Của Từ Misty Là Gì ? (Từ Điển Anh Từ Điển Anh Việt Misty

Ví dụ: nhì hệ phương trình

*
*
là nhị hệ tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là:
*

II. Hệ Cramer:

1. Định nghĩa:

Hệ phương trình tuyến tính (tổng quát) bao gồm n phương trình cùng n ẩn được hotline là hệ Cramer, nếu ma trận của chính nó không suy biến.

( mang đến

*
thì AX = B điện thoại tư vấn là hệ Cramer ví như
*
)

2. Nghiệm của hệ Cramer:

Do hệ phương trình Cramer tất cả

*
cần A khả nghịch cùng tồn tại độc nhất vô nhị ma trận nghịch đảo
*
. Khi đó: nhân nhị vế của (1.2) đến
*
ta có:

*
(1.4)

Vậy hệ tất cả nghiệm duy nhất khẳng định bởi (1.4)

3. Định lý Cramer (Cramer’s rule – công thức khẳng định công thức nghiệm của hệ Cramer)

Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn số đều phải sở hữu duy duy nhất một nghiệm cho do công thức:

*
(1.5)

trong đó D là định thức của ma trận thông số A của hệ (1.1); Dj là định thức nhận được từ D bằng cách thay cột lắp thêm j của D bằng cột hệ số tự vì chưng

*

Chứng minh:

Theo phần 2, hệ Cramer gồm ma trận hệ số A là khả nghịch cần tồn trên ma trận nghịch đảo:

*
(trong kia
*
là ma trận phụ hợp của ma trận A)

Do đó, từ bỏ hpt:

*
(*)

Bây giờ, ta xét:

*
. Ta có:

*
. \left<\beginarrayc b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \endarray \right> = \left<\beginarrayc b_1A_11+ b_2.A_21+ \ldots +b_n.A_n1 \\ b_1A_12+b_2A_22+ \ldots +b_nA_n2 \\ \ldots \\ b_1A_n1+b_2A_n2+ \ldots +b_nA_nn \\ \endarray \right> " class="latex" /> (**)

Từ (*) , (**) ta có:

*
= \dfrac1D \left<\beginarrayc b_1A_11+b_2A_21+ \ldots +b_nA_n1 \\ b_1A_12+b_2A_22+ \ldots +b_nA_n2 \\ \ldots \\ b_1A_1n+ b_2A_2n + \ldots +b_nA_nn \\ \endarray \right> " class="latex" />

Hay:

*

Ta đặt:

*
(***)

Mặt không giống theo tư tưởng định thức ta có:

*
(****)

So sánh vế đề nghị của (***) với (****) ta nhận ra Dj có được từ D bằng phương pháp thay cột j của ma trận thông số A bởi cột ma trận tự do thoải mái B. (dpcm)

Nhận xét:

Từ cách chứng tỏ trên ta dìm thấy: với hệ tất cả n phương trình, n ẩn số:

– trường hợp

*
thì hệ có nghiệm duy nhất.

Xem thêm: 39 Món Cá Tra Làm Món Gì Ngon ? Tổng Hợp 7 Món Ăn Từ Cá Tra Thơm Ngon Dễ Làm

– trường hợp

*
với tồn trên
*
thì hệ chắc hẳn rằng vô nghiệm.

– nếu như

*
thì
*
bao gồm dạng vô định yêu cầu không thể kết luận được. Cùng với trường thích hợp này ta nên giải thẳng (sẽ đề cập chi tiết ở phần sau)